第４問、解法のヒント
(1)
Y＝3y Z= 5z とおくと、
(1/2)･X + 27Y + 25Z = 1
2X + 3Y - 5Z = 1
この連立方程式を解いて、
3y = (-1/4)･X + 1/7
5z = (1/4)･X - 4/7
3y > 0, Z= 5z > 0 より、
4 - log25 - log27 < x < 2 - log27
(2)
X3 －Y3 = (X+Y)(X2－XY+Y3 ) = P(P2－3Q)
(3)
P は実数でQはXの二次式だから、QをXについて平方完成すればよい。
第５問、解法のヒント
(1)
△OABにおいて、余弦定理よりcos∠O=1/2
aベクトルとbベクトルの内積 a･b＝5x4x1/2=10
(4)
題意の正四面体を正四面体O’A’B’C’とおく。
ここで、l1上に頂点O’、頂点A’があり
l2上に頂点B’、頂点C’があり、線分O’A’の中点をN、線分B’C’の中点をMとする。
O’A’＝B’C’＝2xとおくと、A’M=√3･xであり、A’M２＝MN２＋NA’２より、
√2･MN＝2x＝ｄとなり、(3)を参照すれば解ける。
d = 4/√3
第６問のヒント
(1)
題意より、F(x) = (x－α1)(x－α2)2 である。
これをxで微分すると、
F’(x) = (x－α2)2＋(x－α1)2(x－α2)＝(3x－2α1－α2)(x－α2)
以上より、α＝(2α1＋α2)/3、β＝α2
(2)
F’(α)＝０より、γ－α＝α2－α1
(1)より、α＝(2α1＋α2)/3
f(γ)＝F’(x)＝3{γ－(2α1＋α2)/3}(γ－α2)
＝3(γ－α)･1/3(γ－α)
＝(γ－α)2
γ－(2α1＋α2)/3＝α2－α1
γ＝1/3(－α1＋4α2)
(3)
S ＝ F(γ)－F(α2)-｛F(α2)－F(α)｝
＝{1/3(－α1＋4α2)－α1)(1/3(－α1＋4α2)－α2)2＋4/27(α2－α1)3
＝1/27{－4α1＋4α2}(－α1＋α2)2 ＋4/27(α2－α1)3
＝8/27(α2－α1)3
α2－α1≧α12－α1＋1＝(α1－1/2)2+3/4≧3/4
以上より、T = 8/27(3/4)3＝1/8
T＝1/8 (α1＝1/2のとき）
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