正答率０.５％の神奈川県公立高校入試問題＆対策

正答率０５％は過去３年間で最も低く、全受験者（約４００００人）の中で解けたのはわずか２００名程度でした。

超難問だろうと思うかもしれません。しかし、実際の解法は単純で、空間図形のセンスがあれば簡単に解けます。

【問題】

【解法】

下の展開図において、

△ＫＡＩ∽△ＪＩＸで、ＫＡ：ＡＩ：ＩＫ＝１：２：√３＝ＪＩ：ＩＸ：ＸＪ

ＢＦ＝ＩＸより、ＩＸ＝３cm

ＧＨ＝（ＸＹ＋ＡＤ）／２＝ＸＪ＋ＡＫ

に気づけば、次の手順で、簡単に計算できます。

ＩＸ＝３cmより、ＸＪ＝ＩＸ・(√３／２)＝３√３／２cm

ＡＤ＝６cmより、ＡＫ＝ＡＤ・(１／２)＝３cm

∴　ＧＨ＝ＸＪ＋ＡＫ＝３＋３√３／２cm

ただし、

△ＫＡＩにおいて、ＫＡ：ＡＩ：ＩＫ＝１：２：√３

△ＸＩＡにおいて、ＸＩ：ＩＡ：ＡＫ＝１：２：√５

△ＪＩＸにおいて、ＪＩ：ＩＸ：ＸＪ＝１：２：√３

と隣接する三角形の辺の比が似ていてミスを誘い易いことから、

展開図を正しく書けないなど、脳内整理できないと、

混乱して、堂々巡りしたり間違えたりします。

神奈川県を含めて公立高校入試問題で正答率の低い問題は、このような傾向がありますから、

得点力を上げるには、この手の問題をシンプルに解くセンスを磨くことが肝要です。

【詳解】

上の展開図において、点Ｆで重なっていた点をそれぞれＦ，Ｘ，Ｙとする。

仮定より△ＡＸＩ≡△ＤＹＩ，△ＩＡＤは正三角形であるから、

∠ＸＡＤ＝∠ＹＤＸ，ＸＡ＝ＹＤ

これより、四角形ＡＸＹＤは等脚台形である。

この等脚台形において、線分ＸＹ，ＡＤの中点をそれぞれＪ，Ｋとすると、

点Ｉは線分ＪＫ上にありＪＫ⊥ＸＹ，ＪＫ⊥ＡＤ，ＡＤ∥ＸＹである。

△ＡＩＫと△ＩＸＪにおいて、

ＩＫ⊥ＡＤ，ＩＪ⊥ＸＹより∠ＩＫＡ＝∠ＸＪＩ＝９０°であり

∠ＫＡＩ＋∠ＡＫＪ＝９０°　　∠ＪＩＸ＋∠ＩＸＪ＝９０°  ･‥　①

仮定より∠ＸＩＡ＝９０°だから∠ＡＩＪ＋∠ＪＩＸ＝９０°  ･‥　②

①，②より∠ＫＡＩ＝∠ＪＩＸ，∠ＡＩＫ＝∠ＩＸＪであり二角相当だから△ＡＩＫ∽△ＩＸＪ

さらに、仮定より∠ＫＡＩ＝６０°であり∠ＡＩＪ＝３０°であるから

ＫＡ：ＡＩ：ＩＫ＝ＪＩ：ＩＸ：ＸＪ＝１：２：√３　･‥　③

③に加えて、仮定よりＸＩ＝３cmであるからＸＪ＝ＸＩ・(√３／２)＝３√３／２cm

同様にして、△ＤＩＫ∽△ＩＹＪでありＪＹ＝３√３／２cmであるから

ＸＹ＝ＸＪ＋ＪＹ＝３√３cm       ･‥　④

線分ＸＤ，ＧＨ間の交点をＬとすると、△ＸＧＬと△ＸＡＤにおいて

点Ｇは線分ＸＡの中点でありＧＨ∥ＡＤより、

∠ＸＧＬ＝∠ＸＡＤ　∠ＸＬＧ＝∠ＸＤＡであり二角相当であるから

△ＸＧＬ∽△ＸＡＤかつ△ＸＧＬと△ＸＡＤの相似比は１：２

これより点Ｇ，Ｌはそれぞれ線分ＸＡ，ＸＤの中点であるから、中点連結定理より

ＡＤ＝２ＧＬ，ＸＹ＝２ＬＨ       ･‥　⑤

仮定よりＡＤ＝６cm              ･‥　⑥

④～⑥より、ＧＨ＝ＧＬ＋ＬＨ＝(ＸＹ＋ＡＤ)／２＝３＋３√３／２cm